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一.引入状态-空间表达

（本质上是使用一组向量的线性组合来表示整个系统任意物理量，也就是一个特征分解的过程）

现代控制理论的基础是状态-空间表达方式，还是用经典控制理论里的弹簧系统

在经典控制理论中会用到拉普拉斯变换来对上式进行转换，以找到这个系统的传递函数，而在现代控制理论中会找新的表达方式——状态-空间，这里可以理解成一种包含输入、输出和系统变量的集合，把这个集合用一阶微分方程的方式进行表达

就比如上面的 $m\ddot{x}+B\dot{x}+kx=f(t)$ 就要选择合适的状态变量消除高阶项，例如 $z_{1}=x,z_{2}=\dot{x}\Rightarrow \dot{z_{1}}=\dot{x}=z_{2}, \dot{z_{2}}=\ddot{x}=\frac{f(t)-kx-B\dot{x}}{m}$

（其实就是多用一个变量表示一阶项）

然后用矩阵的形式表示上述的 $\dot{z_{1}}\: and\: \dot{z_{2}}$ ，u(t)是输入，y=x是输出，只不过所有的东西都表示成 $\dot{z_{1}}\: \dot{z_{2}}\: and\: u(t)$ 的关系——

$\begin{bmatrix} \dot{z_{1}}\\ \dot{z_{2}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{B}{m} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} z_{1}\\ z_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{m}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u(t) \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} z_{1}\\ z_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u(t) \end{bmatrix}$

因此在现代控制理论中，特征值和系统的稳定性是会有一定关系的

二.状态-空间方程求解方法

例1： $\dot{x}(t)=ax(t)$

$sX(s)-x(0)=aX(s)\Rightarrow X(s)=\frac{x(0)}{s-a}\Rightarrow x(t)=x(0)e^{at}$

当出现多个状态变量时，有如下两种情况（无耦合和有耦合）：

例2： $\begin{cases} \dot{x_{1}}(t)=ax_{1}(t)\\ \dot{x_{2}}(t)=bx_{2}(t) \end{cases}$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}(t)=x_{1}(0)e^{at}\\ x_{2}(t)=x_{2}(0)e^{bt} \end{matrix}\right.$ 例3： $\begin{cases} \dot{x_{1}}(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\\ \dot{x_{2}}(t)=cx_{1}(t)+dx_{2}(t) \end{cases}$

如果表述为矩阵的形式即为 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\vec{x}=A\vec{x}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\vec{x}=A\vec{x}$ 就是状态空间方程

例2是无耦合的形式， $A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& -2 \end{bmatrix}$

例3是耦合的形式， $\dot{x}_{1}(t)\: and\: \dot{x}_{2}(t)$ 这两个变化率不仅仅和自身状态相关的， $A=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 4& -2 \end{bmatrix}$

这两个例子的求解都期望得到一个和例1一样的形式，即 $\vec{x(t)}=e^{At}\vec{x(0)}$ ，

$\vec{x(t)}$ 表示 $x_{1}(t)x_{2}(t)...x_{n}(t)$

通过泰勒级数和矩阵分解可以得到 $e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1}$ （具体怎么求可以看学习视频，链接在文章置顶）， $\Lambda$ 是A的特质值，P是特征值对应的特征向量，有了这些铺垫就可以开始求解：

回到上一部分得到的一般状态方程

三.相图和相轨迹

其实就是表示 $\dot{x}$ 和 $x$ 的关系，注意 $\dot{x}$ 是 $\dot{x(t)}$ 这个形式，它本身是一个函数，而x是一个变量，描述的是变量和对应函数导数的关系

这里画的是不同状态变量共同变化的线

对于一般形式来说：

我的理解：将 $x$ 表示为 $py$ ， $p$ 是坐标变换矩阵， $y$ 是对应 $x$ 的新的状态变量，并且 $y$ 是对角阵，即这一步的作用可以理解为“解耦”，解耦后 $\dot{y}$ 和 $y$ 之间的关系按照上面的公式就是A的特征值（所以最后转回去的 $x$ 中状态变量的变化图就是和A的特征值有关系），最后得出 $y$ 中状态变量的变化图，再通过坐标变换矩阵转回去就是 $x$ 中状态变量的变化图

再举个例子，同样按照上面的计算步骤，现有状态空间方程，然后写出A矩阵，对A矩阵求特征值和特征向量，再根据特征值写出 $\dot{y}$ 和 $y$ 之间的关系，由p将 $y$ 转回 $x$ ，最后得到 $x$ 中状态变量共同构建的关系，这里得到的是一个椭圆表示：

这个例子主要是想说明特征值为仅有一个虚部的复数时，那么它的相图是椭圆，至于椭圆的方向可以举个 $x$ 的例子算一个点判断

再举一个例子：

这个例子主要是想说明特征值为有实部虚部的复数，就像上面计算的 $y=e^{t}e^{2it}$ ， $e^{2it}$ 就决定了相图是循环往复转（情况和特征值为纯虚数的情况一样，而纯虚数就没有额外增益，就是在一个固定的椭圆上转），加上 $e^{t}$ 后就是不会转到以前的位置，会越转越大/小，方向可以举个x的例子算一个点判断

（类似经典控制理论的极点，特征值的虚部为系统带来振荡，系统稳定就要特征值的实部小于0）

四.连续系统离散化

1.主要是计算机控制没有“时间”（数字控制器），因此需要将数据采样离散化

2.这里要关注的是采样周期的选择，当选择的采样周期较小时就会产生大量的数据，当选择的采样周期较大时就会使信号混叠，最终无法还原原信号（这些不懂的可以看数字信息处理的采样），理论上采样频率至少要达到原信号最高频率的两倍，但在实际中这只是一个下限，实际要选取达到五倍-10倍的来作为采样频率。

3.对于数字控制器而言，它产生的控制量也是离散的，这里就要引入零阶保持器产生一个小段的恒定信号，如下图中原来只有黑线，但是为了使控制信号连续，就补充蓝线（零阶保持器的作用）

4.在实时控制中，一般使用时间中断来获取新信息，在中断之后会读取信息并进行计算，再输出控制量，并且从读取、计算到输出的时间必须在一个采样周期内完成（理所应当的，不然下一次采样得到数据，这边还没处理完不搞笑吗？）

对于现在的混合系统（连续离散都有）的控制器设计中，会将连续的系统转为离散系统，直接使用离散系统进行分析，根据这个设定算法再运用到混合系统当中

例如之前推导的 $\dot{\vec{x(t)}}=A\vec{x(t)}+B\vec{u(t)}$ ，解为 $\vec{x(t)}=e^{A(t-t_{0})}\vec{x(t_{0})}+\int_{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

使用到零阶保持器后 $\vec{u(t)}=\vec{u(kT)},kT\leqslant t\leqslant (k+1)T$ ，其实就是上图的补蓝线

再当前的状态作为初始状态，则 $\vec{x(t_{k+1})}=e^{A(t_{k+1}-t_{k})}\vec{x(tk)}+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}}e^{A(t_{k+1}-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

在 $t_{k} \to t_{k+1}$ 的时间内，由于使用了零阶保持器，那在这个时间段里面输入就是常数，并且数字控制器并不关系具体的时间，只关心当前的状态，因此有 $t_{k}\Rightarrow k\: \: ,t_{k+1}-t_{k}\Rightarrow T$

五. 系统的可控性

Co矩阵满秩则系统可控

可控性是点对点的可控呢？还是轨迹可控呢？

其实从上面的相图就可以知道，蓝线是不可能的，因为蓝线表现速度一直为正数，那就不可能会反向移动到点 $x_{t}$ ，黑色的线才是合理的，因此可控性是点到点的可控，轨迹不一定是预期希望的轨迹【当然这也是理论上的可控，实际情况需要具体分析】

六.稳定性（李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定）

初始状态以平衡状态 $x_{e}$ 为球心

蓝线表示李雅普诺夫稳定，只要 $x(t)$ 一开始在以 $\delta$ 为半径的圆以内，随着时间的增加，其最后的落点都会在限制在以 $\varepsilon$ 为半径的圆内；李雅普诺夫稳定对应特征值只有非正实部的情况

棕线表示渐进稳定，只要 $x(t)$ 一开始在以 $\delta$ 为半径的圆以内，随着时间的增加，其最后的落点会回到平衡状态（原点）；渐进稳定对应特征值只有负实部的情况

注：经典控制理论的稳定性是渐进稳定性（收敛到0）

（后面暂时不看，先看非线性了...）

非线性理论基础

补充：

1.李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态，平衡状态是对所有的t满足 $\dot{x_{e}}=f(x_{e},t)=0$ ，当然如果是时不变的就是 $f(x_{e})$

李雅普诺夫第一法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析系统稳定性；

李雅普诺夫第二法是不需要求解微分方程，常用于非线性、时变、MIMO系统，是一种基于广义能量函数 $V$ 及其随时间变化函数 $\dot{V}$ 的特性来研究系统稳定性

2.平衡状态

一般系统状态方程为 $\dot{x}=f(x,t)$ ，其初始状态为 $x(t_{0})$ ，系统的状态轨线 $x(t)$ 是随着时间而变化的，当且仅当 $x\rightarrow x_{e}$ 时称 $x_{e}$ 为系统平衡点，如果 $x_{e}$ 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换使 $x_{e}$ =0，因此平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定问题

3.三种稳定

李雅普诺夫意义下的稳定（参考上面的“六.稳定性”：初始状态限制在小圈，最终状态只在大圈内）

渐进稳定(参考“六.稳定性”：初始状态限制在小圈，在大圈内移动，最终收敛到稳定状态（原点）)

大范围渐进稳定：即整个状态空间任取一点，最终收敛到稳定状态

一.李雅普诺夫直接方法

用李雅普诺夫第二法来分析平衡点是否稳定

前提条件：系统状态方程为 $\dot{x}=f(x,t)$ ，其平衡状态满足 $\dot{x}=f(x,t)$ ，原点为平衡状态，在原点的邻域存在关于状态的标量函数 $V(x,t)$ ，且 $V(x,t)$ 具有一阶偏导

注意稳定和渐进稳定是不同的

定理一： $V(x,t)$ 正定， $\dot{V}(x,t)$ 负定，则原点为渐进稳定；

定理二： $V(x,t)$ 正定， $\dot{V}(x,t)$ 半负定， $\dot{V}(x,t)$ 在 $x\neq 0$ 时恒不为0，则原点为渐进稳定（如果只有前两个条件就是稳定）

定理三： $V(x,t)$ 正定， $\dot{V}(x,t)$ 半负定， $\dot{V}(x[t;x_{0},t_{0}],t)$ 在 $x\neq 0$ 时恒为0（导数在非平衡点外全为0），则原点为李雅普诺夫意义下的稳定

我的理解是稳定只需要有包含某些点使 $\dot{V}$ 为0的一整条轨迹就行，而渐进稳定则要求这条轨迹必须只能在(0,0)点使 $\dot{V}$ 为0

二.非线性系统的稳定性设计

对于上述的 $\dot{V}$ ，显然 $x^{3}$ 不是负定项， $-x^{4}$ 是负定项，那么u的设计就是要消除非负定项

$u_{1}$ 是直接针对 $\dot{x}$ 进行消除的，而 $u_{2}.u_{3}$ 是针对设定的李雅普诺夫函数的导数 $\dot{V}$ 来进行消除的

仿真结果通过simulink得到，可以看到包含高阶项 $u_{1}$ 所所需要的初始状态x输入比另外两种u的初始状态x输入高，因此需要尽量避免高阶项；而从 $u_{2}.u_{3}$ 两种情况下的 $u_{2}$ 的收敛速度更快，从下列求解出来的x(t)也可以很清楚的看到，-x的引入带来了指数的衰减项，而没有-x的就是线性衰减