题目

先把题目放出来

某通信网络中有N个网络结点，用1到N进行标识。网络通过一个有向无环图表示，其中题的边的值表示结点之间的消息传递时延。现给定相连节点之间的时延列表 times[i] = {u,v,w},其中u表示源节点，v表示目的节点，w表示u和v之间的消息传递时延。
请计算给定源结点到目的结点的最小传输时延，如果目的结点不可达，返回-1。

输入描述：
输入的第一行为两个正整数，分别表示网络结点的个数N以及时延列表长度M，用空格分隔。
接下来的M行为两个结点间的时延列表[u,v,w]
输入的最后一行为两个正整数，分别表示源结点和目的结点。

比如：

输入	3 3 1 2 11 2 3 13 1 3 50 1 3
输出	24

一个有向无环图，用dfs也很好做。这里我们重点看一下dijkstra怎么做。

dijkstra算法的python实现

最短路径算法Dijkstra，主要思想是贪心。每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
更具体地来说：
假设我们现在在一个有权图中，图中有n个点，点与点相连的路径上都分配有权重，代表了两点之间的距离。现在有一个起始点i，终点j，如果求i到j的最短距离。

我们建立一个集合s，把起始点i放进去，然后在与i相邻的边中寻找与i距离最近的点，并把这个点放到集合中去。
然后第二次遍历与集合中的点相连的点，并更新到起始点的距离，并把距离起始点i最近的点放到集合中去。
继续上面的做法，每次都在集合中添加一个点。直到没有新的点可以添加进去。

我们来写一个比较简单的python实现。
假设现在有n个节点，同时有一个输入distance距离列表，里面的元素表示的是[u,v,w]即u到v的距离。现在给定起点k，求k到最远的点的最小距离

dist = [float('inf')]*n # 构建一个列表存放n个结点到目标k的距离
dist[k-1] = 0  # 第k个结点到他本身的距离为0

g = [[float('inf')] * n for _ in range(n)] # 构建一个矩阵，表示n个结点彼此的距离。
for x, y, dis in distance:
	g[x-1][y-1] = time  # 按照distance列表更新矩阵中两两结点的距离。

used = [False]*n # 判断点是否已经加入了set里面。

for _ in range(n):
	x = -1
	for y, u in enumerate(used):
		if not u and (x == -1 or dist[y] < dist[x]): #只考虑没有使用过的节点，寻找结点们到初始点的最小距离。
		# 毫无疑问，在第一次遍历中，这个距离是0，目标点是我们的源点本身。
			x = y  # 如果距离小，就用新的点替换掉x。
		
	used[x] = True # 每次都使用距离源点最近的点
	for y, time in enumerate(g[x]):
		dist[y] = min(dist[y], dist[x]+time)  # 更新相连的结点到源点的距离

ans = max(dist)  # 这就是我们要求的k到最远的点的最小距离

dijkstra的时间复杂度是 $O(N^2)$ .

这个题也可以用dfs的方法来作，遍历到父结点时，更新所有的子结点到源点的距离。dfs解该题的时间复杂度更高一点，是 $O(N^N)$ .
同样给出一个解法代码。

map_dict = defaultdict(list)
for u, v, w in distance:
	map_dict[u].append([v,w])  

dist = [float('inf')] * n
def dfs(index, dis):
	if dis < dist[index-1]:
		dist[index-1] = dis
		for v, w in map_dict[index]:
			dfs(v,dis+w)
dfs(k,0)

res = max(dist)

python解答

我们回到题目的python解答上。

dfs解法

首先我们给出一个dfs的解答。
可以看到这个解法和上面的dfs几乎一模一样，区别是这里返回的是源节点到目标点的距离。

def solution(times,src, dist):
    graph = {}
    for u,v, w in times:
        if u not in graph:
            graph[u] = []
        graph[u].append([v,w])
    
    root = [float('inf')]*N    
    def dfs(index, dis):
        
        if dis<root[index-1]:
            root[index-1] = dis
            if index in graph:
                for u, v in graph[index]:
                    dfs(u,dis+v)
                
    dfs(src,0)
    res = root[dist-1]
    return res if res!=float('inf') else -1

dijkstra解法

这个解法也是和上面的思路一样，只不过在发现x==dis-1的时候，提前break结束了这个循环。

def solution(times, src, dis):
    g = [[float('inf')]*N for _ in range(N)]
    for u,v, time in times:
        g[u-1][v-1] = time
        
    dist = [float('inf')]*N
    dist[src-1] = 0
    used = [False]*N
    for i in range(N):
        x = -1
        for y, u in enumerate(used):
            if not u and (x==-1 or dist[y]< dist[x]):
                x = y
        if x == dis-1:
            break
        used[x] = True
        for y, time in enumerate(g[x]):
            dist[y] = min(dist[y],dist[x]+time)
            
    return dist[dis-1]