$CodeforcesRound934(Div.2)$

$D.Non-PalindromicSubstring$

题意

给出一个字符串$s$，然后给出若干次查询，每次查询是对$s$的子段$s[l,r]$进行判断，具体为：**对于子段$ s[l,r]$中长度为$k$的子串，如果存在不是回文的子串，则将该长度$k$加上\ast \ast 。对于每次查询，输出子段$s[l,r]$的长度之和。

思路

这是一道考察$Manachar$算法的好题。

让我们先来观察题目性质：

对于任意字符串$s$，若其本身不是回文字符串，则其子串中必然包含长度从$\mathrm{2...}s.size()$的非回文子串。

证明如下：

若字符串s中存在任意一个长度为$k(2\le k\le s.size())$的子字符串全都是回文字符串，则我们可以根据$k$构造出$s$，且$s$为回文字符串。

根据上述证明，我们可以发现一个性质：

1. 当偶数长度的子串是回文时：

• 如果其偶数子串全都是回文串，则如果第i位填了字符$ch$，那么第$i+1$位也一定是$ch$，因为长度为$2$的字符串也要求回文。所以，当且仅当整个串全部相同时，才会全都是回文。

2. 当奇数长度的子串是回文时：

• 对于奇数长度，整个串全部相同是一种情况。

• 另一种情况是$ababa$，即规定前两个字符，然后推导出后面的字符。这样奇数长度的子串全部为回文串。

需要注意的是，当其本身就是回文字符串时，不能加上本身长度。

然后跟据$Manachar$算法，我们可以预处理字符串，然后每次可以$O(1)$查询出当前子串是否为回文子串。

标程

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
#define int long long 
#define ULL unsigned long long 
#define PII pair<int, int>
#define lowbit(x) (x & -x)
#define Mid ((l + r) >> 1)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define endl '\n'
#define fi first 
#define se second

const int INF = 0x7fffffff;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e6 + 10; 

string add(string s) {
    string str;
    int len_s = s.size();
    if(len_s == 0) return "^@";

    str += '^';
    for (int i = 0; i < len_s; i++) {
        str += '#'; str += s[i];
    }
    str+="#@";
    return str;
}

string manacher_P(string s, vector<int> &P) {
    string str;
    str = add(s);

    int maxid = 0, mid = 0;
    //int l, r, sum;    //Manacher求所有回文子串
    int len_str = str.size();
    P.resize(len_str);
    for (int i = 1; i < len_str - 1; i++) {
        if(maxid > i) P[i] = min(P[2 * mid - i], maxid - i);//进行三种情况的判断
        else P[i] = 1;// 等于 R 的情况

        while (str[i + P[i]] == str[i - P[i]]) P[i]++;  //中心拓展
        
        if (i + P[i] > maxid) {//如果当前回文串已经覆盖到了原先没有覆盖到的地方，则更新标记
            maxid = i + P[i]; mid = i;
        }
        //Manacher求所有回文子串
        //l = (i - 1) / 2 - (P[i] - 1) / 2;
        //r = (i - 1) / 2 + (P[i] - 1) / 2;
        //if(P[i] & 1) r --;
        //sum += (r - l + 2) / 2;
    }
    //return sum;   //Manacher求所有回文子串个数
    
    int maxlen = 0, t = 0;
    for(int i = 1; i < len_str - 1; i ++ ) {
        if(P[i] > maxlen) {
            maxlen = P[i]; t = i;
        }
    }
    int st = (t - maxlen) >> 2;
    return s.substr(st, st + maxlen - 1);   //返回s中最长公共子串
}
void Solved() { 
    int n, q; cin >> n >> q;
    string s; cin >> s;
    vector<int> p, f1(n), f2(n);
    auto t = manacher_P(s, p);

    for(int i = n - 1; i >= 0; i -- ) {
        if(i + 1 < n && s[i + 1] == s[i]) f1[i] = f1[i + 1];
        else f1[i] = i + 1;
        if(i + 2 < n && s[i + 2] == s[i]) f2[i] = f2[i + 2];
        else f2[i] = i + 2;
    }

    while(q -- ) {
        int l, r; cin >> l >> r; l --;
        int len = r - l;
        int res = 0;
        if(f1[l] < r) {//不是全部相当
            int temp = (len - 1) - (len - 1) % 2;
            if(temp >= 2) res += (temp + 2) * ((temp - 2) / 2 + 1) / 2;
        }
        if(f2[l] < r || f2[l + 1] < r) {//非ababa型
            int temp = (len - 1) - len % 2;
            if(temp >= 3) res += (temp + 3) * ((temp - 3) / 2 + 1) / 2;
        }
        if(p[l + r + 1] < len) res += len;//当不是回文串时
        cout << res << endl;
    }
}

signed main(void) {
    IOS

    int ALL = 1; 
    cin >> ALL;
    while(ALL -- ) Solved();
    // cout << fixed;//强制以小数形式显示
    // cout << setprecision(n); //保留n位小数

    return 0;
}