矩阵 $A$ 可以通过特征值分解表示为 $A=PD{P}^{-1}$，这里的 $P$ 是由特征向量组成的矩阵，而$D$ 是对角矩阵，包含特征值。

因为$A^{-1}$的特征值是$A$特征值的倒数，$A^{-1}$的特征向量与$A$特征向量一致，因此$A^{-1}=P{D}^{-1}{P}^{-1}$

下面证明$A^{-1}$的特征值是$A$特征值的倒数，$A^{-1}$的特征向量与$A$特征向量一致：
要根据一个可逆矩阵(A)的特征值来推导其逆矩阵(A^{-1})的特征值，你可以遵循以下步骤：

1. 理解特征值定义：
   对于任何可逆矩阵$A$和其特征值$\lambda$，存在非零向量$v$（即特征向量），满足以下关系：
   $$Av=\lambda v$$

2. 逆矩阵作用于特征向量：
   假设$A$是可逆的，那么它有一个逆矩阵$A^{-1}$，我们想要找到$A^{-1}$的特征值。首先考虑$A^{-1}$作用于$A$的特征向量$v$上：
   $$A^{-1}(Av)=A^{-1}(\lambda v)$$
   根据逆矩阵的定义，我们知道$A^{-1}A=I$（单位矩阵），因此上式可以简化为：
   $$Iv=\lambda A^{-1}v$$
   即：
   $$v=\lambda A^{-1}v$$

3. 推导逆矩阵的特征值：
   上式可以重写为：
   $$A^{-1}v=\frac{1}{\lambda }v$$
   这表明对于矩阵$A$的特征值$\lambda$，其逆矩阵$A^{-1}$对应的特征值是${\lambda }^{-1}$或$\frac{1}{\lambda }$，且原矩阵的特征向量$v$也是逆矩阵的特征向量。

总结：

• 给定矩阵$A$的任一非零特征值$\lambda$，其逆矩阵$A^{-1}$的对应特征值是${\lambda }^{-1}$。
• 特征向量保持不变，即如果$v$是$A$对应特征值$\lambda$的特征向量，那么它也是$A^{-1}$对应特征值$\frac{1}{\lambda }$的特征向量。

如何构建$A=PD{P}^{-1}$：

1. 组织特征向量: 首先确保每个特征值 ${\lambda }_i$ 都至少有一个对应的特征向量 $v_i$，并且这些特征向量是线性独立的。如果矩阵 $A$ 是 $n\times n$ 的，则需要 $n$ 个线性独立的特征向量。

2. 构建对角矩阵: 创建一个对角矩阵 $D$，其对角线上的元素是矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$。非对角线元素均为0。

3. 构造基变换矩阵: 使用特征向量作为列构建一个矩阵 $P$，即每一列是对应的特征向量 $v_1,v_2,...,v_n$。矩阵 $P$必须是可逆的，因为特征向量是线性独立的。

4. 利用特征值分解: 矩阵 $A$ 可以通过特征值分解表示为 $A=PD{P}^{-1}$，这里的 $P$ 是由特征向量组成的矩阵，而$D$ 是对角矩阵，包含特征值。

如果矩阵 (A) 是实对称矩阵，特征向量自动正交且可以规范为单位向量，这样矩阵 (P) 就会是一个正交矩阵，此时 $P^{-1}=P^T$（(P) 的转置）。对于非对称矩阵，虽然过程相似，但需要注意的是 $P$不一定是正交矩阵，因此需要计算 $P$ 的逆矩阵。