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本文涉及知识点
动态规划汇总
LCP04 覆盖
你有一块棋盘，棋盘上有一些格子已经坏掉了。你还有无穷块大小为1 * 2的多米诺骨牌，你想把这些骨牌不重叠地覆盖在完好的格子上，请找出你最多能在棋盘上放多少块骨牌？这些骨牌可以横着或者竖着放。
输入：n, m代表棋盘的大小；broken是一个b * 2的二维数组，其中每个元素代表棋盘上每一个坏掉的格子的位置。
输出：一个整数，代表最多能在棋盘上放的骨牌数。
示例 1：
输入：n = 2, m = 3, broken = [[1, 0], [1, 1]]
输出：2
解释：我们最多可以放两块骨牌：[[0, 0], [0, 1]]以及[[0, 2], [1, 2]]。（见下图）
示例 2：
输入：n = 3, m = 3, broken = []
输出：4
解释：下图是其中一种可行的摆放方式
限制：
1 <= n <= 8
1 <= m <= 8
0 <= b <= n * m
动态规划
动态规划状态数
mask &(1 << j) 表示第j列空闲，没有放置骨牌，也没有损坏。其它位置不限：损坏、骨牌、空闲皆可。
pre[mask] 表示第i行开始处理时，上一行状态为mask的最多骨牌数。
dp1[mask] 表示处理完第i行的竖放后，最多骨牌数。
dp2[mask] 表示处理完第i行的竖放横放后，最多骨牌数。
动态规划的转移方程
mask1 是上一行的状态。
mask2 = mask ^ 当前行坏掉的位置。
mask3 = mask1 & mask2
枚举所有 mask4(竖放），mask4是mask所有非0子序列。每个mask1都要枚举mask4
mask5是竖放完的状态 mask2 ^ mask4。
枚举mask5的所有子序列mask6，横放的状态，合法状态：数量必须是偶数，两两挨在一起。
时间复杂度: O(m3n)
动态规划的初始状态
pre[0]=0，其它-100。
动态规划的填表顺序
按行处理。
动态规划的返回值
pre的最大值。
代码
核心代码
template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{
*seft = max(*seft, other);
}
class CBitCounts
{
public:
CBitCounts(int iMaskCount)
{
for (int i = 0; i < iMaskCount; i++)
{
m_vCnt.emplace_back(bitcount(i));
}
}
template<class T>
int bitcount(T x) {
int countx = 0;
while (x) {
countx++;
x &= (x - 1);
}
return countx;
}
vector<int> m_vCnt;
};
class CEnumMask2
{
public:
CEnumMask2(int iMaskCount):m_iMaskCount(iMaskCount)
{
}
template<class GetMask2,class On>
void Enum(GetMask2 getMask2,On on )
{
for (int mask1 = 0; mask1 < m_iMaskCount; mask1++)
{
const int mask2 = getMask2(mask1);
for (int mask3 = mask2; mask3; mask3 = mask2 & (mask3 - 1))
{
on(mask1, mask2, mask3);
}
}
}
const int m_iMaskCount;
};
class Solution {
public:
int domino(int n, int m, vector<vector<int>>& broken) {
const int iMaskCount = 1 << m;
vector<int> vCan(n, iMaskCount-1);
for (const auto& v : broken)
{
vCan[v[0]] ^= (1 << v[1]);
}
CBitCounts bitCnt(iMaskCount);
vector<int> vVilidH(iMaskCount,-100);
vVilidH[0] = 0;
for (int i = 1; i < iMaskCount; i++)
{
int end = i & (-i);
int end1 = end * 2;
if (i & end1)
{
vVilidH[i] = 1 + vVilidH[i ^ end ^ end1];
}
}
vector<int> pre(iMaskCount, -100);
pre[0] = 0;
CEnumMask2 enumMask(iMaskCount);
for (int r = 0; r < n; r++)
{
vector<int> dp1(iMaskCount, -100);
dp1[vCan[r]] = *std::max_element(pre.begin(), pre.end());//不竖放
enumMask.Enum([&](int mask1) {return vCan[r] & mask1; }, [&](int mask1, int mask2, int mask3)
{MaxSelf(&dp1[vCan[r] ^ mask3], pre[mask1] + bitCnt.m_vCnt[mask3]); });
vector<int> dp2 = dp1 ;//不横放
enumMask.Enum([](int mask1) {return mask1; }, [&](int mask1, int mask2, int mask3)
{if (vVilidH[mask3] <= 0)
{
return;
}
MaxSelf(&dp2[mask1 ^ mask3], dp1[mask1] + vVilidH[mask3]); });
pre.swap(dp2);
}
return *std::max_element(pre.begin(), pre.end());
}
};
测试用例
template<class T,class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
int m,n;
vector<vector<int>> broken;
{
Solution sln;
n = 2, m = 3, broken = { {0, 0},{0, 1} };
auto res = sln.domino(n, m, broken);
Assert(2, res);
}
{
Solution sln;
n = 2, m = 3, broken = { {1, 0},{1, 1} };
auto res = sln.domino(n, m, broken);
Assert(2, res);
}
{
Solution sln;
n = 3, m = 3, broken = { };
auto res = sln.domino(n, m, broken);
Assert(4, res);
}
{
Solution sln;
n = 4, m = 3, broken = { {1,0},{1,1} };
auto res = sln.domino(n, m, broken);
Assert(5, res);
}
{
Solution sln;
n = 3, m = 4, broken = { {2,2},{2,3} };
auto res = sln.domino(n, m, broken);
Assert(5, res);
}
}
优化
枚举所有合法状态，再枚举竖放状态。不用枚举前一行的状态。竖放的状态就是前一行状态。
template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{
*seft = max(*seft, other);
}
class CBitCounts
{
public:
CBitCounts(int iMaskCount)
{
for (int i = 0; i < iMaskCount; i++)
{
m_vCnt.emplace_back(bitcount(i));
}
}
template<class T>
int bitcount(T x) {
int countx = 0;
while (x) {
countx++;
x &= (x - 1);
}
return countx;
}
vector<int> m_vCnt;
};
class Solution {
public:
int domino(int n, int m, vector<vector<int>>& broken) {
const int iMaskCount = 1 << m;
vector<int> vCan(n, iMaskCount-1);
for (const auto& v : broken)
{
vCan[v[0]] ^= (1 << v[1]);
}
CBitCounts bitCnt(iMaskCount);
vector<int> vHMax(iMaskCount);
for (int i = 1; i < iMaskCount; i++)
{
int end = i & (-i);
int end1 = end * 2;
vHMax[i] = (i & end1) ? (1 + vHMax[i ^ end ^ end1]) : (vHMax[i ^ end]);
}
vector<int> pre(iMaskCount, -100);
pre[0] = 0;
for (int r = 0; r < n; r++)
{
vector<int> dp(iMaskCount, -100);
dp[vCan[r]] = pre[0];
for (int mask = vCan[r]; mask; mask = (mask - 1) & vCan[r])
{//当前行放置阵了骨牌的位置
for (int maskH = mask; ; maskH = (maskH - 1) & mask)
{
MaxSelf(&dp[vCan[r] ^ mask], vHMax[mask ^ maskH] + bitCnt.m_vCnt[maskH] + pre[maskH]);
if (0 == maskH)
{
break;
}
}
}
pre.swap(dp);
}
return *std::max_element(pre.begin(), pre.end());
}
};
2023年2月版
//通过 x &= (x-1)实现
int bitcount(unsigned x) {
int countx = 0;
while (x) {
countx++;
x &= (x - 1);
}
return countx;
}
class Solution {
public:
int domino(int R, int C, vector<vector>& broken) {
m_iMaskNum = 1 << C ;
vector vRowMask(R, m_iMaskNum - 1);
for (const auto& v : broken)
{
vRowMask[v[0]] &= ~(1 << v[1]);
}
vector pre(m_iMaskNum, -1);
pre[0] = 0;
for (int r = 0; r < R; r++)
{
vector dp(m_iMaskNum, -1);
for (int pr = 0; pr < m_iMaskNum; pr++)
{
const int& iPreNum = pre[pr];
if (-1 == iPreNum)
{
continue;
}
const int iCurRMask = vRowMask[r];
const int iMaxVMask = iCurRMask & pr;
//vMask枚举所有的竖放
for (int vMask = iMaxVMask;; vMask = iMaxVMask & (vMask - 1))
{
const int iMaxHMask = iCurRMask &(~vMask);
for (int hMask = iMaxHMask;; hMask = iMaxHMask& (hMask - 1))
{
const int iHNum = GetHNum(hMask);
if (iHNum < 0)
{
continue;
}
dp[iMaxHMask & ~hMask] = max(dp[iMaxHMask & ~hMask], iPreNum + iHNum + bitcount(vMask));
if (0 == hMask)
{
break;
}
}
if (0 == vMask)
{
break;
}
}
}
pre.swap(dp);
}
return *std::max_element(pre.begin(), pre.end());
}
int GetHNum(int iMask)
{
int iNum = 0;
while (iMask)
{
int iEndMask = (iMask&(-iMask));
int iPreMask = iEndMask << 1;
if (!(iMask & iPreMask))
{
return -1;
}
iMask -= iEndMask;
iMask -= iPreMask;
iNum++;
}
return iNum;
}
int m_iMaskNum;
};
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
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| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
