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[蓝桥杯 2023 省 A] 平方差

题目描述

给定 $L,R$，问 $L\le x\le R$ 有多少个 $x$ 满足存在整数 $y,z$ 使得 $x=y^2-z^2$。

输入格式

输入一行包含两个整数 $L,R$，用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 $x$ 的数量。

输入输出样例

输入

1 5

输出

4

说明/提示

• $1=1^2-0^2$
• $3=2^2-1^2$
• $4=2^2-0^2$
• $5=3^2-2^2$

数据范围

• $1\le L,R\le 10^9$

解法：数学 + 找规律

对于原式 $x=y^2-z^2$，可以转换为 $x=(y+z)(y-z)$，令 $a=y+z,b=y-z$，即 $x=a\times b$。

因为 $a-b=(y+z)-(y-z)=2z$。

所以 $a$ 和 $b$ 之差一定是偶数，所以 $a,b$ 只能是 奇数和奇数 或者 偶数和偶数。

1.$a,b$ 都是 奇数 的情况：
$a,b$ 都是奇数，那么 $a\times b$ 也是奇数，所以 $x$ 也是奇数，那么 $[L,R]$ 范围内的奇数都满足条件。

2.$a,b$ 都是 偶数 的情况：
$a,b$ 都是偶数，那么 $a\times b$ 也是偶数并且是 $4$ 的倍数，所以 $x$ 也是$4$ 的倍数，那么 $[L,R]$ 范围内的 $4$ 的倍数都满足条件。

如果要求 $[1,n]$ 范围内的 奇数 个数，那就是 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$。

举例，有 n u m s [ 9 ] = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nums[9] = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} nums[9]={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，那么奇数个数就为 $\lceil \frac{9}{2}\rceil =5$。

如果要求 $[1,n]$ 范围内的 4的倍数 个数，那就是 $\lfloor \frac{n}{4}\rfloor$。

举例，有 n u m s [ 9 ] = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nums[9] = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} nums[9]={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，那么4的倍数个数就为 $\lfloor \frac{9}{4}\rfloor =2$。

如此我们就可以定义一个函数 $fun(i)$，求出 $[1,i]$ 区间内所有满足条件的 $x$ 的数量 ，最终返回的答案就是 $fun(R)-fun(L-1)$。

时间复杂度： $O(1)$

C++代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int fun(int x){
    return (x + 1) / 2 + x / 4;
}

int main(){
    int l, r;
    cin>>l>>r;
    
    int ans = fun(r) - fun(l - 1);
    cout<<ans<<'\n';
}

Java代码：

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
	static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static int n;
	
	public static int fun(int x) {
		return (x + 1) / 2 + x / 4;
	}
	
	public static void main(String[] args) throws Exception 
	{
		int l;
		int r;
		String[] str = in.readLine().split(" ");
		l = Integer.parseInt(str[0]);
		r = Integer.parseInt(str[1]);
		
		int ans = fun(r) - fun(l - 1);
		
		System.out.println(ans);
	}
}