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2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案-第八小题

时间:2021/5/20 2:38:37|来源:|点击: 次

本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案 中各小题答案。

 

§08 八小题


8.因果、稳定、LTI系统的传递函数H(s),该系统的输入为:

x ( t ) = δ ( t ) + e s 0 t + x 1 ( t ) x\left( t \right) = \delta \left( t \right) + e^{s_0 t} + x_1 \left( t \right) x(t)=δ(t)+es0t+x1(t)其中 x 1 ( t ) x_1 \left( t \right) x1(t)未知, s 0 s_0 s0为复数常数。

x ( t ) x\left( t \right) x(t)产生的输出信号为: y ( t ) = δ ( t ) − 6 e − t u ( t ) − 1 2 e 4 t cos ⁡ 3 t − 3 2 e 4 t sin ⁡ 3 t y\left( t \right) = \delta \left( t \right) - 6e^{ - t} u\left( t \right) - {1 \over 2}e^{4t} \cos 3t - {3 \over 2}e^{4t} \sin 3t y(t)=δ(t)6etu(t)21e4tcos3t23e4tsin3t求符合上述条件的传递函数。

▓ 求解:

将y(t)进行Laplace变换:

Y ( s ) = 1 − 6 s + 1 + 1 2 ⋅ s + 5 s 2 − 8 s + 25 Y\left( s \right) = 1 - {6 \over {s + 1}} + {1 \over 2} \cdot {{s + 5} \over {s^2 - 8s + 25}} Y(s)=1s+16+21s28s+25s+5 = 1 − 6 s + 1 + 1 4 ( 1 − 3 j s − 4 − 3 j + 1 + 3 j s − 4 + 3 j ) = 1 - {6 \over {s + 1}} + {1 \over 4}\left( {{{1 - 3j} \over {s - 4 - 3j}} + {{1 + 3j} \over {s - 4 + 3j}}} \right) =1s+16+41(s43j13j+s4+3j1+3j)

= s 3 − 13.5 s 2 + 62 s − 127.5 s 3 − 7 s 2 + 17 s + 25 = {{s^3 - 13.5s^2 + 62s - 127.5} \over {s^3 - 7s^2 + 17s + 25}} =s37s2+17s+25s313.5s2+62s127.5

= s − 7.5 s + 1 ⋅ s 2 − 6 s + 17 s 2 − 8 s + 25 = {{s - 7.5} \over {s + 1}} \cdot {{s^2 - 6s + 17} \over {s^2 - 8s + 25}} =s+1s7.5s28s+25s26s+17

>>laplace(dirac(t)-6*exp(-t)-(exp(4*t)*(cos(3*t)+3*sin(3*t)))/2)'
ans=1 -6/(s+1)-9/(2*((s-4)^2 +9))-(s-4)/(2*((s-4)^2 +9)
>>partfrac((m+5)/(2*m^2-16*m+50),m,'FactorMode','full')'
ans=(1/4 -3i/4)/(m-4 -3i)+(1/4 +3i/4)/(m-4 +3i)

由于 x ( t ) x\left( t \right) x(t)是实数函数,所以 x 1 ( t ) x_1 \left( t \right) x1(t)应该包含 共轭函数。
x 1 ( t ) = e s 0 ∗ t x_1 \left( t \right) = e^{s_0^* t} x1(t)=es0t
所以:
X ( s ) = 1 + 1 s − s 0 + 1 s − s 0 ∗ X\left( s \right) = 1 + {1 \over {s - s_0 }} + {1 \over {s - s_0^* }} X(s)=1+ss01+ss01

对比LTI输出信号中的表达式,可知: s 0 = 4 + 3 j s_0 = 4 + 3j s0=4+3j

X ( s ) = 1 + 2 s − 8 s 2 − 8 s + 25 = s 2 − 6 s + 17 s 2 − 8 s + 25 X\left( s \right) = 1 + {{2s - 8} \over {s^2 - 8s + 25}} = {{s^2 - 6s + 17} \over {s^2 - 8s + 25}} X(s)=1+s28s+252s8=s28s+25s26s+17

由于: Y ( s ) = X ( s ) ⋅ H ( s ) Y\left( s \right) = X\left( s \right) \cdot H\left( s \right) Y(s)=X(s)H(s)

H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = s − 7.5 s + 1 H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{s - 7.5} \over {s + 1}} H(s)=X(s)Y(s)=s+1s7.5

 

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